L'étude à la base de cet article a été financée par le programme "École et Sciences Cognitives" du ministère de l'Éducation nationale et de la Recherche et réalisée en réponse à une demande de synthèse des travaux sur les savoirs et les savoir-faire mathématiques chez l'enfant que Pierre Barouillet et Michel Fayol, responsable du groupe de travail, ont souhaité étendre aux savoirs mathématiques des sociétés sans écriture. Ce texte a été repris dans Dominique Blanc et Valérie Camos, "Les prémices du nombre", in P. Barouillet et V. Camos (éd.), La cognition mathématique chez l'enfant, Marseille : Solal, 2006, p.45-70.
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Dès les premières incursions d’observateurs occidentaux sur les territoires des peuples ignorés des Européens, les informations n’ont pas manqué sur la présence où l’absence d’un usage des nombres dans des groupes perçus comme les plus primitifs et donc les plus proches des premières formes de vie en société. Partant de ces poussières d’observations fragmentaires, dues essentiellement à des administrateurs, des missionnaires et des marchands, les premiers ethnographes ont élaboré, le plus souvent sans jamais se rendre eux-mêmes sur le terrain, des synthèses partielles concernant tel groupe ou tel ensemble de tribus apparentées par la langue et la région de résidence. Ces données comparatives, élaborées de seconde main, ont cependant joué un rôle important dans la formulation des théories anthropologiques générales sur l’évolution et la hiérarchisation des sociétés humaines. L’opposition entre peuples civilisés et peuples primitifs qui s’articule, entre autre, sur une opposition entre mentalité logique et mentalité prélogique doit beaucoup aux considérations des ethnographes de la fin du 19e et du début du 20e siècle sur le traitement rudimentaire ou l’absence de traitement du nombre chez les "primitifs" (Squillacciotti 1992). Tylor (1871), Conant (1896) et Lévy-Bruhl (1912) ont fixé pour longtemps la forme canonique d’un tableau de l’humanité où "ceux qui sont au plus bas de l’échelle des êtres humains" (Tylor), possèderaient une série de numéraux très limitée (quand ils en possèdent une) à laquelle correspondrait nécessairement une capacité limitée et la quasi inexistence d’un intérêt pour la quantification et la numération. Ces considérations méritent d’être rappelées dans la mesure où le "primitivisme" qui leur est sous-jacent, loin d’être rangé dans le rayon des accessoires de l’anthropologie coloniale, perdure encore dans les travaux de synthèse les plus répandus, quand ce n’est pas sous la plume de spécialistes peu vigilants.

Le paradigme primitiviste

La synthèse de Karl Menninger (1957-1959) sur l’histoire culturelle des nombres, devenue l’ouvrage de référence dans sa version anglaise remaniée à partir de 1969, malgré le sérieux et la richesse encyclopédique de la plupart de ses informations, s’en remettait entièrement à la thèse primitiviste dès qu’il s’agissait des sociétés sans écriture. Inédite en français et depuis longtemps épuisée en langue anglaise, elle est remplacée depuis quelques années par la monumentale encyclopédie de Georges Ifrah (1994) sur l’histoire universelle des chiffres qui connaît de nombreuses éditions à travers le monde. Cet ouvrage, qui ne prétendait dans sa première version (1981) qu’à la compilation érudite de l’état des savoirs sur la question par un amateur passionné, a pris une tout autre dimension dans sa version encyclopédique actuelle en mêlant à une synthèse des résultats produits par les spécialistes de chaque période de l’histoire des chiffres et des mathématiques, les résultats de la "recherche personnelle" de l’auteur qui n’hésite pas à donner la solution de questions encore largement débattues dans le milieu scientifique. La critique d’une simple mésaventure éditoriale n’aurait pas sa place ici si l’ouvrage concerné n’était devenu la référence principale sinon la seule, pour les non-spécialistes. Or, dès 1995, les meilleurs historiens de chacune des périodes traitées, sollicités par l’Association des professeurs de mathématiques (APMEP : bulletins n°398 et 399) avaient contesté cette présentation de l’histoire de la numération, des critiques reprises de manière plus sévère encore à l’occasion de l’édition américaine (Dauben 2002). Ifrah glisse constamment de l’idée plausible à la conjecture vraisemblable puis, trop souvent, à l’affirmation péremptoire. Ainsi invente-t-il, par exemple, l’existence d’abaques ou tables à compter à Sumer, en Chine, en Inde et dans le monde maya pour "expliquer" comment étaient réalisés les calculs intermédiaires. De la même façon, il résout en quelques pages la question épineuse et controversée des étapes de l’adoption du système positionnel et des chiffres indiens dans le monde arabo-musulman ! Comment, dès lors, considérer sérieusement la question, chère à Piaget, du rapport entre phylogenèse et ontogenèse si les références pseudo historiques sur les sociétés anciennes et le passage de l’oral à l’écrit sont si peu sûres ?

Il est à noter que personne n’a contesté les conjectures et les affirmations d’Ifrah sur la question des numérations "primitives" qui nous occupe ici. C’est qu’elles relèvent d’un primitivisme toujours en vigueur. Quels en sont les présupposés ? Tout d’abord l’idée que les systèmes les plus simples, ou les plus dépouillés, se trouvent "au début", ainsi les premières numérations (historiquement) et les numérations les plus "primitives" (dans la hiérarchie des réalisations culturelles) sont-elles confondues. C’est un rapport immédiat à la nature et aux objets, tributaire des sens et non de l’intellect qui caractériserait l’ "origine" du rapport à la numérosité. Le comptage dans les sociétés sans écriture serait donc immergé dans le concret. Ifrah illustre parfaitement cette conception quand il affirme que nombre de "peuplades primitives" contemporaines semblent "dépassées" par le nombre qui est senti, perçu, appréhendé de manière qualitative "un peu comme on perçoit une odeur, une couleur, un bruit ou encore la présence d’un individu ou d’une chose du monde extérieur. Autrement dit ces ‘sauvages’ ne sont affectés que par le changement d’aspect de leur champ visuel, suivant un rapport direct de sujet à objet. Leurs capacités de compréhension des nombres abstraits se limitent donc à ce que leurs dispositions naturelles permettent de reconnaître d’un seul coup d’œil" (Ifrah 1994 : 29). Ce qui expliquerait que bien des "peuplades" en soient resté à la fameuse suite : "un, deux, trois, beaucoup". L’évolution aurait donc eu lieu en trois étapes. La première consiste à sortir partiellement de la confusion d’une quantité nombreuse mais indéterminée par un certain nombre de procédés concrets fondés sur le principe de correspondance élément par élément (des appariements avec des cailloux, des bâtonnets, des doigts ou des parties du corps). La seconde est marquée par la mise en avant des noms des parties du corps concernées qui, sans accéder encore au statut plein et entier de "noms de nombres" forment une énumération qui finira par devenir "insensiblement demi abstraite, demi concrète" comme l’indiquait déjà Lévy-Bruhl. Lors de la troisième étape, enfin, caractérisée en des termes empruntés à Dantzig (1930) : "une fois que le nom de nombre a été créé et adopté, il devient un type aussi utile que l’objet qu’il représentait à l’origine. La nécessité de distinguer entre le nom de l’objet dont on se sert et le symbole du nombre lui-même conduirait naturellement à apporter une modification à l’énonciation jusqu’à ce que, finalement, dans la suite des temps, le véritable lien entre les deux ait complètement disparu de la mémoire. Au fur et à mesure que l’homme apprend à se servir de plus en plus de son langage, les sons se substituent aux images pour lesquelles ils ont été créés, et les modèles concrets initiaux prennent la forme abstraite des ‘noms de nombre’."

Si l’élévation du concret à l’abstrait et le passage de la perception sensible au langage élaboré semblent, dans leur simplicité, frappés au coin du bon sens, ils n’en signent pas moins une confusion qu’il est toujours nécessaire de dissiper. Si l’on veut parler de primitifs (si tant est que l’on puisse continuer à employer ce terme par commodité) il faut au préalable rappeler que les "primitifs actuels", disons les membres des sociétés sans écriture qui peuplent encore aujourd’hui une petite partie de la planète, peuvent certainement nous offrir un modèle comparatif pour raisonner sur les capacités des "premiers primitifs" (les membres des sociétés "préhistoriques" sur lesquels nous ne pouvons avoir aucun témoignage direct) mais ils ne sauraient en aucun cas être confondus avec eux. C’est pourtant cette confusion qui sous-tend en partie l’argumentation simpliste généralement présentée. Or la plupart des recherches récentes en anthropologie vont au-delà de la description de systèmes de numération parfois rudimentaires et peu usités dans des calculs quotidiens pour s’intéresser à des usages des nombres qu’elles situent sur le plan symbolique et qui se révèlent alors d’une grande richesse et d’une certaine complexité.



Usages et représentations des nombres dans les sociétés sans écriture

Les travaux des africanistes sur la symbolique des nombres en Afrique de l’Ouest, par exemple, qu’ils rendent compte de la place privilégiée de certains chiffres dans la cosmologie de tel peuple ou du sens et de la fonction des nombres associés au masculin et au féminin dans tel autre (Fainzang 1985) traitent des nombres dans un domaine particulier mais n’en montrent pas moins, en soulignant la cohérence que leur combinaison systématique entretient avec les représentations de la personne d’une part et avec les espaces sociaux qui la définissent, d’autre part, l’omniprésence de systèmes numériques dans des groupes qui par ailleurs peuvent très bien faire peu de cas de leurs procédés de calcul utilitaires et de leur système de numération. A plus forte raison devrait-on reconsidérer les affirmations usuelles sur l’absence d’ordinalité diagnostiquée dans beaucoup de sociétés "primitives" en s’intéressant à quelques études qui se sont penchées sur la tradition bien établie des "noms-numéros". Dans certaines sociétés africaines (Collard 1973), chaque enfant, avant de se voir attribuer plus tard un surnom, reçoit un nom-numéro en rapport avec son rang de naissance dans la catégorie de sexe à laquelle il appartient. Les diverses combinaisons et jeux de substitution auxquels les anomalies et incidents de l’existence peuvent donner lieu (reprise du rang d’un frère aîné disparu et donc possible inversion de la correspondance entre l’ordre des rangs de naissance et l’ordre des âges) sont autant de manipulations expertes de l’ordre des nombres qui ont toutes les chances de passer inaperçues aux yeux de qui s’enquiert seulement de la récitation formelle de la suite numérique en usage dans ces sociétés.

Un autre ensemble de travaux s’est attaché à explorer la question de la monnaie dans les sociétés "primitives". A la suite des publications de Gray (1960) sur la "monnaie de chèvre" chez les Sonjo, les recherches de Godelier (1969) sur la "monnaie de sel" chez les Baruya et de Panoff (1980) sur les objets précieux et les moyens de paiements en Océanie ont ouvert des pistes sur la notion de valeur et invité à un débat sur les conditions de circulation d’un équivalent général dans les échanges "primitifs" qui pourrait se révéler fructueux s’il était mis en rapport avec la question du caractère concret-abstrait du système numérique dans ces sociétés sans écriture (L’Homme 2002). De même, les recherches conduites par De Coppet aux îles Salomon montrent comment certaines étendues ne se mesurent pas, telles la forêt, le ciel et la mer pas plus que ne se doit diviser la durée du jour et de la nuit. Il existe par contre une unité de longueur, la brasse, qui va de l’extrémité du pouce de la main droite à l’extrémité du pouce de la main gauche. Elle sert à évaluer les longueurs rectilignes verticales et horizontales de l’espace humanisé (maison, jardin, mer enclose par les filets de pêche) mais elle sert surtout d’étalon pour les colliers de perles taillées dans le coquillage qui a valeur de monnaie et s’échange au cours des événements importants de la vie des individus, de la lignée ou du village. La brasse de monnaie se subdivise en vingt-quatre longueurs orientées de droite à gauche, elles-mêmes multiples de la longueur des deux premières phalanges du pouce. Ces longueurs empruntent leurs noms aux détails anatomiques ou aux parures qui ornent les bras des hommes. Chaque brasse comporte cinquante perles. Dix perles et au-delà permettent d’intervenir dans les actes de la vie courante tandis que les neuf premières et les nombres représentés par chacune d’entre elles jouent un rôle symbolique essentiel dans la société considérée. Le décours d’une vie, par exemple, s’accomplit de un à quatre puis de quatre à huit qui représente la totalité incarnée par les huit lignes généalogiques et les huit terroirs hérités par chaque enfant à naître de même que le neuf et le sept jouent un rôle primordial, à travers un système complexe d’échanges, dans l’ouverture d’une série de meurtres et les cérémonies qui permettent de la clore (De Coppet, 1968, 1970). On est ici, à l’évidence, dans le domaine du symbolique mais il n’en reste pas moins que l’on s’expose à tout ignorer de la capacité à manipuler les nombres et de la richesse du système numérique à l’œuvre si l’on restreint le questionnement à la récitation verbale hors contexte d’une suite de noms de nombres qui a de fortes de chances de culminer avec un "huit" que l’on croira pouvoir traduire par "beaucoup" alors que précisément il ouvre sur une pensée indigène de la totalité et de la multiplicité et que par ailleurs l’accent mis sur les neufs premiers nombres, dû à leur statut symbolique particulier, n’empêche nullement que soient manipulées les suites représentées par les cinquante perles de la monnaie ou l’ensemble des vingt-quatre subdivisions qui constituent la brasse, unité de longueur.

Ce détour par des approches qui situent la question de la numération au sein de ce que, depuis Mauss, il est convenu d’appeler "le fait social total" ne dispense certes pas les anthropologues de traiter les questions auxquelles il semble que le primitivisme dominant ait apporté de mauvaises réponses. Quelques (rares) chercheurs s’y sont employés. Spécialiste des Shuar (Jivaros) d’Amérique du sud, Gnerre (1981) a repris le dossier en partant de sa connaissance directe de la culture de ce peuple et des études qui lui ont été consacrées dans le passé. Il y met l’accent sur le rapport entre les représentations verbales et non verbales des nombres. Les Jivaros ne possèdent de noms spécifiques que pour les quatre premiers nombres, le cinquième se disant "j’ai fini la main". Mais au-delà, le geste est joint à la parole : les doigts de la main gauche sont saisis un à un tout en énonçant : "un doigt…", "deux doigts…", "de l’autre main" (expression qui peut rester sous-entendue dans le compte). L’opération peut continuer avec les pieds jusqu’à atteindre "j’ai fini avec les deux pieds" qui termine la série exprimable en parole et équivaut à "vingt". L’expression d’une quantité mesurable ne s’arrête cependant pas là et tout Jivaro qui veut exprimer un multiple de dix frappera l’une contre l’autre ses deux mains fermées autant de fois que nécessaire en y ajoutant le nombre de doigts requis par l’expression des unités additionnelles. Au-delà de vingt dizaines, cependant, la quantité ne relève plus du domaine de l’exprimable et la plupart des indigènes disent alors "une multitude" ou "comme des fourmis". Mais les choses à compter ne dépassent pratiquement jamais la limite des quinze dizaines : dans un monde où les paniers, la vaisselle de terre cuite, les tubes de bambous et les troncs creux sont à la fois moyens de transports et de conservations des denrées et des biens, la question de la mesure, de la conservation de la quantité, de la surface et du volume ne se pose pas dans les mêmes termes que dans notre société et les occasions de compter au sens où nous l’entendons sont rares.

Compte tenu de ces conditions sociales et de ces configurations culturelles particulières aux petits groupes vivant encore à l’écart du monde de l’écriture et de la civilisation occidentale, ne serait-il pas possible d’observer systématiquement un système de numération indigène tout à la fois dans ses applications concrètes et ses usages symboliques ? La seule monographie anthropologique de quelque ampleur qui ait tenté de satisfaire à ce programme est l’ouvrage de Jadran Mimica (1988) sur les Iqwaye de Papouasie Nouvelle-Guinée. Ce groupe humain longtemps isolé sur des hauts plateaux inaccessibles présente toutes les caractéristiques des "primitifs vivant encore à l’âge de pierre" et possède apparemment un système numérique pauvre et incomplet, utilisé simplement à des fins pratiques immédiates. Les Iqwaye disposent d’une numération parlée accompagnée d’une numération figurée (gestuelle). Seuls les quatre premiers nombres sont désignés par des termes spécifiques mais les doigts de main et les doigts de pied sont utilisés successivement pour exprimer la suite des nombres. Le système repose sur la base 20 (représentée par l’ensemble des doigts du corps humain) avec 5 comme base auxiliaire (représentée par les doigts d’une main). Elle rejoint en cela bien d’autres systèmes établis sur les mêmes bases (Zaslavsky 1973). Mais si, quand les Iqwaye comptent, la totalité des doigts représente le nombre 20 et se dit : "un homme", dans leur manière de se représenter le monde et les êtres qui le peuplent, chaque doigt de main ou de pied est lui-même identifié à un individu humain. Cette identification entre un doigt et un individu humain est manifestée par le fait que chaque doigt peut recevoir un nom d’homme et que chaque homme peut recevoir un nom de doigt. En effet, les noms propres des Iqwaye comportent des suffixes indiquant leur rang de naissance dans la fratrie qui sont aussi les noms ordonnés des doigts. Il en résulte, pour la numération, que chaque doigt peut à son tour figurer "20" et l’ensemble d’un corps humain équivaloir à "400". Des nombres élevés peuvent ainsi être atteints en poursuivant un comput qui fonctionne alors par "application" de l’ensemble des doigts et des orteils sur chacun d’entre eux. Le corps humain est bien ici l’instrument concret du dénombrement mais la présence physique d’un nouvel individu à chaque itération de 20 n’est nullement nécessaire et le compte, s’il est "concret" du fait de son caractère figuratif gestuel pour celui qui l’énonce en parcourant la suite de ses propres doigts, est "abstrait" dans la mesure où toute nouvelle puissance de la base se réfère à "un homme" virtuel et absent. On a donc à la fois un dénombrement concret à travers une gestuelle et une relation abstraite entre un ensemble et ses éléments. La cosmogonie Iqwaye et son mythe de l’être primordial donne la clé de ce système qu’elle énonce comme la réplication du géniteur dans ses enfants : le premier homme s’est auto engendré et il a engendré le cosmos à partir de lui-même avant de créer les cinq fils correspondant à ses cinq doigts qui ne sont jamais que d’autres lui-même. Sont ainsi justifiés symboliquement, outre l’usage autochtone des termes de parenté, l’ambivalence du comput digital et sa capacité d’extension indéfinie par multiples de vingt.



Un usage des nombres au premier abord "primitif" et rudimentaire se révèle d’une complexité certaine. Mais au-delà de ces usages et de ces représentations, quel concept de nombre est ici en jeu ? Pour l’auteur de la monographie, la réponse ne fait aucun doute. Il insiste tout d’abord sur la possibilité pour un Iqwaye de générer, a priori indéfiniment, la suite des nombres entiers (opération que l’informateur privilégié de l’ethnologue, sollicité par ce dernier, parvient à réaliser jusqu’à des nombres élevés dont les noms composés pour l’occasion reprennent les appellations de base). Il conclut, à partir de ces observations de terrain, à l’existence de la notion d’infinité dans la culture Iqwaye, une notion indigène qui, au dire de l’auteur, soutiendrait la comparaison avec la théorie de Cantor sur les ordinaux transfinis ! Maurice Caveing, spécialiste de la constitution des savoirs mathématiques en Mésopotamie, en Egypte et en Grèce Ancienne, après avoir souligné l’intérêt de l’étude du système numérique Iqwaye, met en avant quelques précautions nécessaires dans l’emploi de l’idée de nombre. Le système de comput décrit par Mimica constitue bien un procédé de numération figurée élaboré contrairement à ce que laisserait croire un a priori primitiviste, mais "il importe de bien voir que, par l’assimilation de la vingtaine à l’individu humain tout entier, le système de comput figuré des Iqwaye s’engage dans une voie qui peut conduire, par les ambivalences de la représentation concrète, jusqu’au mythe – ce qui est effectivement le cas – mais nullement vers les développements abstraits qui aboutissent au concept de nombre" (Caveing 1990 : 155). Ce système de numération est évidemment compatible avec le concept de nombre entier (sinon il ne serait tout simplement pas un système de numération) mais il n’est nullement nécessaire que le concept de nombre soit explicite dans la culture considérée pour que cette compatibilité soit effective.

On voit par là toute la difficulté que peut représenter la moindre tentative de hiérarchisation des systèmes de numération en fonction de leur degré d’évolution et de complexité croissante, à défaut de pouvoir cerner les capacités numériques des "primitifs". Sur quels critères fonder une telle hiérarchie dans la mesure où, dans l’état actuel des données disponibles, les protocoles d’observation et les hypothèses, aussi bien que les types d’objets observés, sont souvent incompatibles sinon incomparables suivant la formation et l’orientation disciplinaire de chaque observateur ? Pour rester dans le monde océanien, le rapport sur le programme Indigenous Mathematics Project conduit en Papouasie Nouvelle-Guinée nouvellement indépendante sous la direction de David Lancy (1983) est un bon exemple de cela. Il s’efforce de classer les systèmes de numération dans pas moins de 225 langues locales. Il distingue parmi eux quatre types : Le Type I rassemble les systèmes de comptage sur les parties du corps : des points situés au-dessus de la taille sont énumérés de part et d’autre de la tête, d’un petit doigt à l’autre. Les points retenus varient de 12 à 68, chiffres qui constituent la limite (le "module") d’un compte qui peut être répété. Ils représentent 12% du total. Le Type II comprend les systèmes dans lesquels des objets servent de "compteurs" tels que des pierres ou des bâtonnets. La base est généralement située entre 2 et 5. Ils représentent 15% du total. Le Type III mêle les bases 5 et 20 et parfois la base 10. La numération Iqwaye évoquée plus haut entre dans ce cadre où les bases intermédiaires correspondent aux mains et aux pieds et la base 20 à "un homme". Il représente 40% des cas. Le Type IV, quant à lui, est un système décimal affranchi des références corporelles. Il rassemble les cas qui présentent la particularité d’avoir une origine commune et relativement récente. Bien qu’elle soit reprise telle quelle dans des synthèses ultérieures (Crump 1990), cette classification, à l’évidence, n’en est pas une. Le Type IV signale en fait l’adoption à des degrés divers du système décimal "occidental" alors que les trois autres, dès que l’analyse s’approche au plus près de cas concrets, sont souvent mêlés dans les usages d’un même groupe ou bien laissent soupçonner qu’ils s’y sont succédés. Rien d’étonnant à cela : le système principal décrit chez les Iqwaye (Type III) n’empêche nullement que des aides externes, telles que des collections de pièces de bois de différentes tailles (Type II) servent en permanence à comptabiliser des objets tels que les cochons et la monnaie de coquillage, les deux richesses de ce peuple, tout en s’ouvrant à l’apparition toute récente d’un système de compte adapté à la nouvelle monnaie de la Papouasie indépendante sur une base décimale (Type IV). Sans doute a-t-on là, sur cet immense territoire où cohabitent 4 millions de personnes parlant au moins 700 langues différentes, où se côtoient des groupes urbanisés vivant à l’ère électronique et des peuples des Hautes Terres ayant rencontré pour la première fois des "Blancs" il y a quarante ans à peine, un chantier ouvert. L’Institut Glenn Lean de l’University of Technology à Lae a entrepris l’archivage et la numérisation des données recueillies ces vingt dernières années sur les systèmes de numération et les usages du nombre dans les 700 groupes linguistiques. Leur mise à disposition prochaine devrait être l’occasion du lancement d’une étude anthropologique systématique, ce qui n’a pas été le cas jusqu’ici.

L’influence du langage et de la culture sur les compétences numériques

L’une des questions que se posaient les observateurs des peuples "primitifs" lors des premiers contacts portait, nous l’avons vu en commençant, sur l’existence même d’un système numérique digne de ce nom chez la plupart d’entre eux. La question demeure mais sous une forme double : (1) existe-t-il des peuples sans numération parlée et dans ce cas, (2) la quantification et au-delà une arithmétique, même rudimentaire, est-elle possible ? Loin du souci de classification des "sauvages" selon leur degré de civilisation, il s’agit de la question des rapports entre langage, culture et cognition numérique, toujours d’actualité. Elle a donné lieu récemment à deux études de cas sur le type de population qui nous intéresse ici. Ce n’est plus la diversité foisonnante des cultures de Nouvelle-Guinée qui a retenu l’attention des chercheurs mais la présence de petits groupes d’indiens de la forêt amazonienne dont le système de numération serait encore de la forme "un-deux-beaucoup". La première étude a été conduite par Peter Gordon, de l’université de Columbia à New-York, chez les Pirahã du Brésil (Gordon 2004). Alerté par le linguiste Daniel Everett qui fréquente ces indiens régulièrement depuis vingt-sept ans, Gordon a voulu saisir l’occasion d’observer sur le vif un groupe humain dont la langue est quasiment dépourvue de noms de nombres. Sachant qu’un système de numération élémentaire est possible en présence de noms pour les seuls premiers nombres avec l’appui des bases 5 ou 10 (en utilisant les doigts de la main), ou bien l’usage d’un système binaire récursif du type : 1, 2, 2’1, 2’2’, 2’2’1 permettant de générer jusqu’à un certain point la suite des nombres, il affirme s’être d’abord assuré que les seuls noms disponibles étaient bien les équivalents de "un", "deux" et "beaucoup". Ceci établi : pas d’usage récursif du système de comptage (pas de combinaison des deux noms de nombres existants), échec des tentatives de prolongement du comptage verbal par des procédés gestuels (compte sur les doigts), il découvrit aussi que les mots pour 1 et 2 étaient polysémiques et pouvaient servir à quantifier de manière floue dans diverses situations. Les expérimentations proprement dites se sont donc attachées à évaluer les capacités numériques non verbales chez des individus dépourvus de "langage arithmétique". Confrontés à des tâches de reproduction d’agencements en séries continues d’un petit nombre d’objets familiers sur le modèle des séries présentées par l’expérimentateur puis à des tâches (simples) de reconstitution des séries faisant appel à la mémoire visuelle ou exigeant une réorientation spatiale, les Pirahã étudiés ont réalisé des performances qui paraissent en adéquation avec la quasi absence de langage numérique dans leur culture : réussite pour les trois premiers nombres et chute spectaculaire des performances au-delà. Gordon répond donc par la négative à la question de savoir si des humains ne possédant pas de système numérique peuvent cependant représenter des quantités exactes pour des ensembles de quatre ou cinq objets. Seule persiste la capacité de compter exactement jusqu’à trois items. Les Pirahã n’ont donc pas de capacité numérique au-delà des possibilités de leur langage. Nous serions là, d’après Gordon, en présence d’une confirmation solide de l’hypothèse whorfienne de la prédétermination de la pensée par le langage. La publication des résultats de cette enquête dans la revue Science a pourtant suscité deux types de critiques. La première est venue, curieusement, d’Everett lui-même, l’hôte de Gordon chez les Pirahã. Le linguiste refuse de voir dans les résultats obtenus sur le terrain la confirmation d’un simple déterminisme linguistique. D’après lui c’est la culture Pirahã qui, dans son ensemble, présenterait un certain nombre de singularités remarquables : "En particulier, la culture Pirahã limite la communication aux sujets non abstraits qui se réfèrent à l’expérience immédiate des interlocuteurs. Cette contrainte explique divers éléments surprenant de la grammaire et de la culture Pirahã : l’absence de mythes de création et de fiction, le système de parenté le plus simple jamais observé, l’absence de nombres d’aucune sorte [‘un’ et ‘deux’ peuvent aussi bien désigner des quantités floues] comme du concept de calcul, l’absence de termes pour les couleurs… l’absence de tout terme de quantification, etc." (Everett 2005). Le deuxième type de critique s’adresse aussi bien à Everett qu’à Gordon. Des interlocuteurs intervenant dans un forum de linguistes (Language Log 2004) leur reprochent d’ignorer la question des contextes d’usage des opérations éventuelles de quantification et de numération et de leur inutilité sociale éventuelle. Plus précisément, il est difficile d’admettre sans grande prudence des résultats concernant "la numération Pirahã" dans son ensemble alors que la pré-enquête sur la possible existence d’un système de comptage digital conduite dans leur langue par Keren Everett a porté sur deux informateurs seulement (Gordon 2004 : 496), que les tâches à accomplir lors de l’enquête principale ont été présentées à sept individus seulement, six hommes et une femme, de deux villages différents et que "la plupart des données proviennent de quatre de ces hommes qui étaient particulièrement disponibles pour participer" (Gordon 2004 : 497). On ignore tout de ces hommes, de leur âge et de leur place dans la communauté étudiée. Plus profondément, c’est encore une fois l’ignorance des apports de l’anthropologie sur ces questions qui est grandement dommageable. Pour ne prendre qu’un exemple, les affirmations d’Everett sur "le système de parenté le plus simple jamais observé" (Everett 2005 : abstract) - entendons : le plus primitif -, tomberaient d’elles-mêmes s’il s’était donné la peine de s’informer sur ce qu’est un système et une terminologie de parenté. Il existe heureusement une étude anthropologique rigoureuse et complète du système de parenté et d’alliance chez les Pirahã actuels qui en décrit précisément toute la complexité (Gonçalves 1997). Dès lors, les résultats de Gordon, "guidé" par Everett, outre les réserves sur leur représentativité exprimées plus haut, ne valent que pour l’échantillon concerné et sont sujets à caution quant aux usages des nombres chez les Pirahã dont il faut noter en outre qu’il s’agit d’une population décimée dont ne subsistent que de petits groupes à l’intérieur desquels tous les savoirs en usage ne sont sans doute pas également transmis.

C’est aussi pour répondre à la question des rapports entre langage et calcul que l’équipe formée par Pica, Lemer, Izard et Dehaene s’est rendue à son tour en Amazonie pour y conduire une recherche sur les indiens Mundurucus (Pica, Lemer et al. 2004). Le calcul est-il possible sans le langage ? L’absence de noms spécifiques pour les nombres au-delà de 5 (ce qui est le cas des Mundurucus) interdit-elle toute quantification et toute arithmétique, même approximative ou seulement la possibilité de réaliser des calculs exacts ? Dans ce cas les expérimentateurs se sont efforcés de se donner des garanties quant à la fiabilité de leurs résultats. Les 55 sujets sollicités ont été distribués en plusieurs groupes tenant compte des différents degrés d’exposition à un système numérique autre que le système monolingue indigène : deux groupes d’adultes et d’enfants strictement monolingues et sans instruction comparés à des adultes et des enfants partiellement bilingues et ayant reçu quelque instruction scolaire. A la différence des tests d’Everett et Gordon, un groupe de contrôle composé de Français âgés d’une cinquantaine d’année a été constitué pour comparaison. L’expression verbale des nombres a été sollicitée en présentant des séries de 15 points disposés au hasard. Une expression exacte n’a été obtenue que pour les nombres de 1 à 5 et encore avec difficulté. Au-delà, les expressions correspondant à "plusieurs", "beaucoup", "deux mains", "plus d’une main", "quelques orteils" et, pour 13 points par exemple : "tous les doigts des mains et puis quelques autres" ont été formulées. La production de la suite des nombres pas plus que leur usage pour exprimer des quantités précises n’est une action familière chez les Mundurucus. Même si quelques-uns, expressément invités à le faire pour dénombrer les objets présentés, égrènent péniblement une séquence numérique en s’aidant de leurs doigts de main et de pied, la plupart annoncent verbalement des nombres sans compter. La réponse verbale correspond à une évaluation approximative des quantités au-delà des tout premiers nombres. Tester la capacité à quantifier approximativement s’imposait donc. Les résultats ont confirmé la capacité des Mundurucus à se représenter approximativement des grands nombres, la présence chez eux de la notion de grandeur relative et l’absence de difficulté à ajouter et à comparer des quantités approximatives. De plus ces résultats ne diffèrent en rien sur ce point des performances des adultes français du groupe de contrôle. Pica et Dehaene voient dans cette expérience, conformément à l’hypothèse avancée par ce dernier, une nouvelle confirmation de l’existence d’un "sens du nombre", commun à tous les êtres humains. Ce système primaire, ancré sur une configuration cérébrale innée, autorise toujours les approximations mais n’aboutit à une numération exacte qu’à la condition que soit élaboré un outil approprié qui passe obligatoirement par l’élaboration d’un langage numérique. Chez les Mundurucus, pour des raisons à déterminer, la "cristallisation" de nombres discrets à partir d’un continuum initial de grandeurs numériques approximatives ne semble pas avoir eu lieu. Il s’agit là de bien autre chose que de l’hypothèse whorfienne reprise par Gordon, selon laquelle toute possibilité d’accéder au nombre est strictement contrainte par l’absence ou la présence d’un lexique de termes numériques. L’hypothèse Dehaene et les résultats de la recherche qu’elle a inspiré s’inscrivent a fortiori en faux contre l’hypothèse du handicap culturel avancée de fait par Everett, dans la droite ligne d’un "nouveau primitivisme" dont la théorie a été élaborée voici quelques années par Hallpike (1979).

Les résultats obtenus dans l’enquête auprès des Mundurucus sont cohérents et compatibles avec d’autres expérimentations, déjà anciennes, conduites notamment par des chercheurs en psychologie culturelle. Les recherches de John Gay et Michael Cole (1967) sur les compétences arithmétiques des Kpelle du Libéria, par exemple, avaient mis en lumière les performances, bien souvent supérieures à celles des jeunes étudiants américains qui composaient le groupe de contrôle, des adultes africains illettrés s’agissant de l’évaluation approximatives des quantités et des volumes et qui contrastaient avec leur difficulté à effectuer un dénombrement exact et à extraire la séquence numérique de tout contexte pratique. Ils peuvent aussi être comparés aux observations ethnographiques concernant d’autres peuples disposant d’un lexique numérique restreint, quand leur auteur ne se contente pas de dresser une liste virtuelle de la suite des nombres dont la séquence n’est en pratique jamais réalisée. Fredrik Barth, par exemple, dans son étude sur les Baktaman de Nouvelle-Guinée, décrit l’extrême attention et la précision de ces habitants des Hautes Terres pour tout ce qui concerne l’espace tout en soulignant combien leur conception de la quantité et du temps est vague, diffuse et combien sont rudimentaires les moyens dont ils disposent pour rendre ces notions plus précises. Le schème numérique permet de compter jusqu’à 27. La plupart des nombres correspondent aux noms des parties du corps qui sont touchées lors du comptage. Seuls 1 et 2 sont désignés par des termes spécifiques. Les nombres au-delà de 3 et 4 sont très rarement utilisés dans une conversation familière. Les nombres jusqu’à 8 servent à spécifier les lois régissant la durée des périodes de tabou temporaire. "En insistant pour que l’on me précise combien d’hommes participaient à un raid, combien une femme avait d’enfants, etc., j’ai obtenu des nombres jusqu’à 10 mais toujours comme une liste de noms qui étaient comptés au moment où ils étaient prononcés. Je n’ai jamais entendu prononcer de chiffre au-delà de dix, excepté au cours de l’exercice qui consistait à m’apprendre à compter." (Barth 1975 : 21). Ainsi les mesures du temps, par exemple, sont-elles toujours approximatives, ce qui n’empêche nullement l’organisation des activités humaines en phases successives mais interdit d’établir une corrélation précise entre l’exécution de certaines activités et des événements particuliers dont la situation dans le temps constituerait un repère fixe. Mais la constatation d’une cohérence entre l’absence d’un système numérique élaboré et l’absence de comptabilité précise ne vaut pas forcément explication de la relation causale entre l’une et l’autre. Est-ce la quasi absence de nombres parlés qui explique l’absence de mesures précises ou bien est-ce l’inutilité sociale de ces dernières pour les Baktaman qui motive le non développement d’un système numérique ?

Des numérations en situation

S’il est impossible de répondre directement à une telle question, sans doute peut-on tenter d’avancer des éléments de réponse qui reprendront du même coup certaines des pistes signalés dans les exemples précédents pour mieux comprendre les conditions de production d’une (ou plusieurs) numération(s) dans une société sans écriture. Mieux que de longs discours, l’étude exemplaire de Nancy Bowers et Punda Lepi, de l’université d’Auckland, sur les habitants de langue kakoli de la Kaugel Valley, en Papouasie Nouvelle-Guinée, peut nous éclairer. Les auteurs précisent d’emblée que la liste des noms de nombre donnée par eux en kakoli et quelques langues voisines ou apparentées n’est valable sous forme de liste que pour l’observateur et non pour les indigènes eux-mêmes qui n’ont jamais l’occasion d’utiliser les nombres en les listant de cette façon. Une énumération formelle n’est réalisée qu’en situation de comptage dans un contexte cérémoniel. Nous sommes ici à l’opposé de la situation des Pirahã, des Mundurucus et même des Baktaman : les groupes de parenté de la Kaugel Valley se doivent de redistribuer sans cesse d’énormes quantités de biens qu’il leur faut compter exactement pour évaluer leur richesse et leur prestige respectif et espérer demeurer ainsi aux meilleures places dans le cercle des échanges. Des milliers de porcs, de perles de coquillage et d’autres biens encore doivent changer de mains en un seul jour. Il faut d’abord tenir le compte des transactions individuelles entre donneurs secondaires pour aboutir enfin au grand compte cérémoniel des objets redistribués par les donneurs principaux. La technique du compte elle-même ajoute à leur prestige : aux yeux des centaines de récipiendaires ou des simples curieux admiratifs, ils doivent montrer leur capacité à "bien faire le compte" et capter ainsi l’attention de leurs obligés qui seront incités à donner leurs filles pour épouses aux jeunes hommes de leur clan.

Un donneur principal se doit de courir le long des biens offerts, alignés parfois sur plusieurs centaines de mètres, en annonçant les chiffres au passage :

"Ici 2 ! [2] ; ici 2-4 [4] ; ici 2 [6] ; ici 2-4-8 [8] ; 2 de 12 [10] ; 12 [12] ; 2 de 16 [14] ; 16 [16] ; 2 de 20 [18] ; 20 [20] ; 2 de 24 [22] ; 24 [24] ; 2 de 28 [26] ; 28 [28] ; 2 de 32 [30] ; 32 [32]" Arrivé à ce point le compteur dit : "24 est fini, il reste 8… 8". Le compte reprend alors : "2 de 12 [34] ; 12 [36], 2 de 16 [38] …" pour marquer une nouvelle pause à "2 de 24 [46] ; 24 [48]".

Le compte progresse de 2 en 2 en marquant les multiples de 4. Les unités supplémentaires ne sont pas additionnées au multiple précédent mais retranchées au multiple de quatre suivant. 18 se dit donc "2 de 20" et si le compte doit s’arrêter à 19, qui n’est pas un multiple de 2, le résultat annoncé sera : "3 de 20". 5 et 6 ne sont que des adjuvants utilisés seulement pour comptabiliser les multiples de 24. La suite des nombres n’est pas énoncée en continu. Celui qui compte ne peut passer directement d’une série de 24 à la suivante. Il doit compter d’abord jusqu’à 28 et 32 pour pouvoir annoncer à ce point : "une série de 24 est terminée, il reste 8" avant de reprendre à partir du nom de nombre 12 afin de compter la nouvelle série de 24 à partir de 34 (annoncé : "2 de 12").

Cette curieuse façon de compter qui nécessite peu de noms de nombres mais s’applique à de grandes quantités est en bien des points ésotérique pour les individus ordinaires et les donneurs néophytes. C’est là l’un des buts recherchés. Il s’agit ici d’un savoir inégalement partagé qui fait intégralement partie du prestige des grands hommes au sein du clan. Il aboutit à des comptes exacts, les étapes intermédiaires du calcul (24, 48, 72… jusqu’à 576) étant mémorisées soit mentalement soit à l’aide de courts bâtons fichés en terre. Ce système de numération est abstrait : même si les noms des premiers nombres dérivent sans doute des noms de doigts, ils en diffèrent actuellement et surtout les locuteurs n’en ont plus conscience. Il est utilisé presque exclusivement dans le cadre cérémoniel évoqué et ne sert qu’à compter les grands nombres. Les villageois n’y ont recours qu’en deux autres occasions : pour compter le nombre de poteaux nécessaires à la construction d’une maison collective et lorsqu’il s’agit d’accueillir un grand nombre d’hôtes. Dans la vie quotidienne, d’autres systèmes sont parallèlement en usage. L’un d’eux s’appuie sur l’ordre des naissances ("premier-né", "nouveau-né", "troisième-né", "quatrième-né", "dernier-né") pour compter les garçons nés du même père… mais aussi les régimes de bananes sur l'arbre, par exemple, en commençant la séquence à la base de la fructification. Les mois sont comptés en six paires, du "premier-né" au "dernier-né" mais seuls des spécialistes indigènes manipulent correctement les intrications du calendrier local. Pour le commun des mortels, seuls les petits nombres sont utilisés. La série des jours du mois n’existe pas mais un système simple de huit jours avant ou après le jour présent permet à tout un chacun de se situer dans le temps proche. Pour un Papou de langue kakoli habitant la Kaugel Valley, donc, "compter", "dire les nombres" ou "calculer" risque fort de ne pas avoir de sens en dehors des situations socialement définies où ces opérations sont mises en œuvre, en faisant usage dans chaque cas de systèmes différents et généralement non transférables d’un domaine à l’autre. Le "système de numération" en usage dans la Kaugel Valley est donc fait de l’ensemble de ces usages et de ces représentations. Certains habitants ont une numération du type "un-deux-beaucoup" d’autres savent "compter jusqu’à huit" pour se situer dans le temps), d’autres savent combiner le décompte des mois et divers calendriers mais quelques-uns seulement tirent prestige d’un "Grand-Compte-bien-fait" lors des grands rituels.

Il est aussi important de noter, ce qui est presque toujours oublié s’agissant de sociétés "primitives" supposées immuables, que ces numérations ont une histoire. Bowers et Lepi en recherchent les traces lointaines dans les noms de nombres qu’ils comparent à ceux en usage dans des groupes aujourd’hui très proches ou très éloignés, postulant ainsi des contacts anciens ou récents à partir des emprunts réciproques. Il en va de même pour les différentes bases (2, 4, 8, 24…) utilisées dans les différents types de calcul dont la distribution dans l’espace géographique des Hautes Terres parsemé de groupes humains différents donne elle aussi de précieuses indications. Ainsi le Grand Compte cérémoniel peut-il être daté de deux cent ans au plus grâce, à l'identification des emprunts linguistiques mais surtout à la reconstitution des changements opérés dans la société concernée. L’un des auteurs (Nancy Bowers) a analysé par ailleurs la transformation des paysages, signe du développement d’une agriculture extensive qui a permis l’accumulation de biens et l’extension des réseaux d’échange, bien avant l’arrivée des Blancs. De cette époque date sans doute le renforcement de l’économie de prestige et donc le développement du Grand Compte cérémoniel, ce que corrobore l’histoire reconstituée des emprunts linguistiques aux divers partenaires de l’échange. Mais la succession "naturelle" des systèmes utilisés telle qu’elle est souvent postulée : compte digital puis compte corporel puis numération verbale n’est pas confirmée par les données recueillies. Il semble, par exemple, que, dans cette région, les numérations corporelles à bases élevées aient précédé les numérations digitales à base 4 qui nous sembleraient a priori plus primitives et plus aisées à manipuler. A l’inverse, d’autres numérations corporelles ont connu une expansion récente inattendue au sein des groupes évoluant moins rapidement vers les économies de prestige sur le modèle décrit plus haut. On ne peut décidément décrire ces numérations qu’en situation.



En conclusion, si le terme de synthèse ne peut certainement pas s’appliquer à ce bref parcours à travers la littérature existante sur le sujet, c’est qu’aucun modèle ne permet actuellement de rendre compte de toutes les observations. C’est aussi parce que ces observations ont rarement été conduites en suivant un protocole bien établi ou bien, s’agissant d’ethnographie, en spécifiant les éléments précis concernant la collecte des informations, une condition pourtant essentielle pour un savoir qui n’est saisissable qu’en situation, comme nous avons essayé de le montrer. Il reste donc beaucoup à faire, ne serait-ce que poursuivre l’inventaire des études réalisées, souvent incluses dans des recherches traitant d’un tout autre sujet. Ainsi pourra-t-on en venir à la discussion de travaux que nous avons délibérément laissés de côté ici pour nous en tenir aux capacités numériques et aux usages des nombres dans les sociétés sans écriture (pour ne pas dire avant l’écriture). Qu’en est-il en effet de la question du calcul oral et mental des illettrés dans une société accédant à l’écrit (Blanc 1997), des capacités numériques des différents groupes composant une société où cohabitent marchands et agriculteurs illettrés (Posner 1982) et, pour finir, de la question des rapports entre culture et développement cognitif saisis à la croisée des observations d’une société "primitive" soumise à un changement rapide, des apprentissages scolaires élémentaires et des bricolages numériques des petits vendeurs de rue (Saxe 1981, 1991) ?


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